Квазигруппа (математика)

Квазигруппа — магма, в которой всегда возможно деление. В отличие от группы, квазигруппа не обязана быть ассоциативной. Любая ассоциативная квазигруппа является группой.

Определения и свойства

Квазигруппой называют пару (Q, *) из непустого множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q, удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q, такие что

• a * x = b
• y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

• x = a b
• y = b / a

Операции и / называют левым делением и правым делением.

Квазигруппу с единицей называют также лупой (от англ. loop — петля).

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они равномощны как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что

• (x, y) = [xA, yB]C

(здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными.

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия, в некотором[каком?] смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы.

Квазигруппа называется полностью антисимметричной, если выполняются ещё два свойства:

• если для некоторых a и b из квазигруппы оказалось, что a * b = b * a, то a = b;
• если для некоторых a, b и c из квазигруппы оказалось, что ( a * b ) * c = ( a * c ) * b, то b = c.

В 2004 году М. Дамм представил примеры полностью антисимметричных квазигрупп, что явилось значительным математическим достижением XXI века.

Полностью антисимметричные квазигруппы (квазигруппы Дамма) используются в кодах, распознающих ошибку (алгоритм Дамма).

Примеры

• Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } x = a−1 * b, y * a = b ⇔ {displaystyle Leftrightarrow } y = b * a−1.
• Целые числа ( Z {displaystyle mathbb {Z} } ) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой.
• Ненулевые рациональные числа Q {displaystyle mathbb {Q} } (или вещественные — R {displaystyle mathbb {R} } ) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
• Множество {±1, ±i, ±j, ±k}, где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются так же, как в кватернионах, является квазигруппой с единицей (лупой).
• Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = (x + y) / 2 образует структуру идемпотентной коммутативной квазигруппы.