Определённый интеграл

24.03.2022

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм). Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции. В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение

Пусть функция f ( x ) {displaystyle f(x)} определена на отрезке [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} . Разобьём [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} на части несколькими произвольными точками: a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b {displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<ldots <x_{n}=b} . Тогда говорят, что произведено разбиение R {displaystyle R} отрезка [ a ; b ] . {displaystyle [a;b].} Далее, для каждого i {displaystyle i} от 0 {displaystyle 0} до n − 1 {displaystyle n-1} выберем произвольную точку ξ i ∈ [ x i ; x i + 1 ] {displaystyle xi _{i}in [x_{i};x_{i+1}]} .

Определённым интегралом от функции f ( x ) {displaystyle f(x)} на отрезке [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю λ R → 0 {displaystyle lambda _{R} ightarrow 0} , если он существует независимо от разбиения R {displaystyle R} и выбора точек ξ i {displaystyle xi _{i}} , то есть

∫ a b f ( x ) d x = lim Δ x → 0 ∑ i = 0 n − 1 f ( ξ i ) Δ x i {displaystyle int limits _{a}^{b}f(x)dx=lim limits _{Delta x ightarrow 0}sum limits _{i=0}^{n-1}f(xi _{i})Delta x_{i}}

Если существует указанный предел, то функция f ( x ) {displaystyle f(x)} называется интегрируемой на [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} по Риману.

Обозначения

  • a {displaystyle a} — нижний предел.
  • b {displaystyle b} — верхний предел.
  • f ( x ) {displaystyle f(x)} — подынтегральная функция.
  • Δ x i = x i + 1 − x i {displaystyle Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}} — длина частичного отрезка.
  • λ R = sup Δ x i {displaystyle lambda _{R}=sup {Delta x_{i}}} — ранг разбиения, максимальная из длин частичных отрезков.

Свойства определённого интеграла

  • Если f {displaystyle f} и g {displaystyle g} — интегрируемы на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} функции, то их линейная комбинация α f + β g {displaystyle alpha f+eta g} также является интегрируемой на [ a , b ] {displaystyle [a,b]} функцией, причём ∫ a b ( α f + β g ) ( x ) d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x {displaystyle int limits _{a}^{b}(alpha f+eta g)(x)dx=alpha int limits _{a}^{b}f(x)dx+eta int limits _{a}^{b}g(x)dx}
  • Если f {displaystyle f} — интегрируемая на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,b]} функция, то справедливо ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x {displaystyle int limits _{a}^{b}f(x)dx=-int limits _{b}^{a}f(x)dx}
  • Если f {displaystyle f} — интегрируемая в окрестности точки a {displaystyle a} функция, то справедливо ∫ a a f ( x ) d x = 0 {displaystyle int limits _{a}^{a}f(x)dx=0}

Геометрический смысл

Определённый интеграл от неотрицательной функции ∫ a b f ( x ) d x {displaystyle int limits _{a}^{b}f(x),dx} численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a {displaystyle x=a} и x = b {displaystyle x=b} и графиком функции f ( x ) {displaystyle f(x)} .

Свойства

  • Если функция f ( x ) {displaystyle f(x)} интегрируема по Риману на [ a ; b ] {displaystyle [a;b]} , то она ограничена на нем.

Примеры вычислений

Далее приведены примеры расчёта определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

  • ∫ 8 9 x 2 d x = x 3 3 | 8 9 = 729 3 − 512 3 = 217 3 = 72 , ( 3 ) ≈ 72 , 3 {displaystyle int limits _{8}^{9}x^{2},dx={frac {x^{3}}{3}}{Big |}_{8}^{9}={frac {729}{3}}-{frac {512}{3}}={frac {217}{3}}=72{,}(3)approx 72{,}3}
  • ∫ 1 b d x x = ln ⁡ x | 1 b = ln ⁡ b {displaystyle int limits _{1}^{b}{frac {dx}{x}}=ln x{Big |}_{1}^{b}=ln b}
  • ∫ 1 4 2 d x x = 2 ln ⁡ x | 1 4 ≈ 2 , 8 {displaystyle int limits _{1}^{4}{frac {2dx}{x}}=2ln x{Big |}_{1}^{4}approx 2{,}8}


  • Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий:
    Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2022
    При цитировании информации ссылка на сайт обязательна.
    Копирование материалов сайта ЗАПРЕЩЕНО!