Переходные процессы в электрических цепях

15.04.2022

Переходные процессы — процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, — при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Например, при подключении разряженного конденсатора C {displaystyle C} к источнику напряжения U 0 {displaystyle U_{0}} через резистор R {displaystyle R} , напряжение на конденсаторе меняется от 0 до U 0 {displaystyle U_{0}} по закону:

U c ( t ) = U 0 ( 1 − e − t / τ ) {displaystyle U_{c}(t)=U_{0}(1-e^{-t/ au })}

τ = R C {displaystyle au =RC} (постоянная времени).

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи. Иными словами, конденсатор не может запастись энергией мгновенно, а если бы мог — для этого потребовался источник энергии бесконечной мощности.

Стандартные идеализированные воздействия при анализе отклика математической модели цепи — это ступенчатая функция Хевисайда и импульсная функция Дирака.

Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением

  • неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока,
  • линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.

Время установления в новое стационарное состояние

Переходные процессы могут продолжаться от долей наносекунд до нескольких лет. Продолжительность зависит от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.

Законы (правила) коммутации

Первый закон коммутации

Ток, протекающий через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации i L ( 0 − ) {displaystyle i_{L}(0_{-})} , равен току, протекающему во время коммутации, и току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации i L ( 0 + ) {displaystyle i_{L}(0_{+})} , так как ток в катушке мгновенно измениться не может:

i L ( 0 − ) = i L ( 0 ) = i L ( 0 + ) {displaystyle i_{L}(0_{-})=i_{L}(0)=i_{L}(0_{+})}

Второй закон коммутации

Напряжение на емкостном элементе С непосредственно до коммутации u C ( 0 − ) {displaystyle u_{C}(0_{-})} равно напряжению во время коммутации, и напряжению на емкостном элементе непосредственно после коммутации u C ( 0 + ) {displaystyle u_{C}(0_{+})} , так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

u C ( 0 − ) = u C ( 0 ) = u C ( 0 + ) {displaystyle u_{C}(0_{-})=u_{C}(0)=u_{C}(0_{+})}

При этом ток в конденсаторе изменяется скачкообразно.

Примечание

  • t = 0 − {displaystyle t=0_{-}} — время непосредственно до коммутации.
  • t = 0 {displaystyle t=0} — непосредственно во время коммутации.
  • t = 0 + {displaystyle t=0_{+}} — время непосредственно после коммутации.
  • Начальные значения величин

    Начальные значения (условия) — значения токов и напряжений в схеме при t = 0 {displaystyle t=0} .

    Напряжения на индуктивных элементах и резисторах, а также токи, протекающие через конденсаторы и резисторы, могут изменяться скачком, то есть их значения после коммутации t = 0 + {displaystyle t=0_{+}} чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации t = 0 − {displaystyle t=0_{-}} .

    Независимые начальные значения — это значения токов, протекающих через индуктивные элементы, и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима.

    Зависимые начальные значения — это значения остальных токов и напряжений при t = 0 + {displaystyle t=0_{+}} в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа.

    Методы расчёта переходных процессов

    • Классический метод (решение дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики).
    • Операторный метод (перенос расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени t {displaystyle t} ) в область функций комплексного переменного, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические).
    • Метод переменных состояния (составление и решение системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенной относительно производных. Число переменных состояний равно числу независимых накопителей энергии).


    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий:
    Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2022
    При цитировании информации ссылка на сайт обязательна.
    Копирование материалов сайта ЗАПРЕЩЕНО!