Алгебраическая независимость

Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.

Пусть L {displaystyle L} некоторое расширение поля K {displaystyle K} . Элементы ( α 1 , … , α n ) {displaystyle (alpha _{1},ldots ,alpha _{n})} называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена P ( x 1 , … , x n ) {displaystyle P(x_{1},ldots ,x_{n})} с коэффициентами из поля K {displaystyle K}

В другом случае элементы ( α 1 , … , α n ) {displaystyle (alpha _{1},ldots ,alpha _{n})} называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда L {displaystyle L} — кольцо и K {displaystyle K} — его подкольцо.

Пример

Подмножество { π ; 2 π + 1 } {displaystyle {{sqrt {pi }};2pi +1}} поля вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } не является алгебраически независимым над полем Q {displaystyle mathbb {Q} } , поскольку многочлен P ( x 1 , x 2 ) = 2 x 1 2 − x 2 + 1 {displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1} является нетривиальным с рациональными коэффициентами и P ( π , 2 π + 1 ) = 0 {displaystyle P({sqrt {pi }},2pi +1)=0} .