Ультрафильтр на решётке F {displaystyle F} — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.
Определение
Собственный фильтр F {displaystyle F} на решётке L {displaystyle L} является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от F {displaystyle F} ) фильтре.
Набор F {displaystyle F} подмножеств множества X {displaystyle X} называется ультрафильтром на X {displaystyle X} , если
- ∅ ∉ F {displaystyle varnothing
otin F}
- для любых двух элементов F {displaystyle F} , их пересечение также лежит в F {displaystyle F}
- для любого элемента F {displaystyle F} , все его надмножества лежат в F {displaystyle F}
- для любого подмножества Y ⊆ X {displaystyle Ysubseteq X} либо Y ∈ F {displaystyle Yin F} , либо X ∖ Y ∈ F {displaystyle Xackslash Yin F}
Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах S ⊂ X {displaystyle Ssubset X} , заданную как ω F ( S ) = 1 {displaystyle omega _{F}(S)=1} , если S ∈ F {displaystyle Sin F} , и ω F ( S ) = 0 {displaystyle omega _{F}(S)=0} в противном случае, то ω F {displaystyle omega _{F}} является конечно-аддитивной вероятностной мерой на X {displaystyle X} .
Ультрафильтры в булевых алгебрах
Если решётка L {displaystyle L} является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр F {displaystyle F} является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента x ∈ L {displaystyle xin L} либо x ∈ F {displaystyle xin F} , либо − x ∈ F {displaystyle -xin F}
Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.
Примеры
- любой главный фильтр является ультрафильтром
- подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории T {displaystyle T} , состоящее из теорем T {displaystyle T}
Свойства
- ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
- любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
- если F {displaystyle F} — главный ультрафильтр на множестве X {displaystyle X} , то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
- если F {displaystyle F} — неглавный ультрафильтр на множестве X {displaystyle X} , то пересечение всех его элементов пусто.
- Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
- Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
- Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
- Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
- Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства X {displaystyle X} — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств X {displaystyle X} наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров G {displaystyle G} можно взять множества D a = { U ∈ G | a ∈ U } {displaystyle D_{a}={Uin G|ain U}} для всевозможных a ∈ P ( X ) . {displaystyle ain P(X).}
Приложения
- Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
- Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
- Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу