Ультрафильтр

Ультрафильтр на решётке F {displaystyle F} — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Определение

Собственный фильтр F {displaystyle F} на решётке L {displaystyle L} является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от F {displaystyle F} ) фильтре.

Набор F {displaystyle F} подмножеств множества X {displaystyle X} называется ультрафильтром на X {displaystyle X} , если

• ∅ ∉ F {displaystyle varnothing otin F}
• для любых двух элементов F {displaystyle F} , их пересечение также лежит в F {displaystyle F}
• для любого элемента F {displaystyle F} , все его надмножества лежат в F {displaystyle F}
• для любого подмножества Y ⊆ X {displaystyle Ysubseteq X} либо Y ∈ F {displaystyle Yin F} , либо X ∖ Y ∈ F {displaystyle Xackslash Yin F}

Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах S ⊂ X {displaystyle Ssubset X} , заданную как ω F ( S ) = 1 {displaystyle omega _{F}(S)=1} , если S ∈ F {displaystyle Sin F} , и ω F ( S ) = 0 {displaystyle omega _{F}(S)=0} в противном случае, то ω F {displaystyle omega _{F}} является конечно-аддитивной вероятностной мерой на X {displaystyle X} .

Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка L {displaystyle L} является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр F {displaystyle F} является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента x ∈ L {displaystyle xin L} либо x ∈ F {displaystyle xin F} , либо − x ∈ F {displaystyle -xin F}

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

• любой главный фильтр является ультрафильтром
• подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории T {displaystyle T} , состоящее из теорем T {displaystyle T}

Свойства

• ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
• любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
• если F {displaystyle F} — главный ультрафильтр на множестве X {displaystyle X} , то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
• если F {displaystyle F} — неглавный ультрафильтр на множестве X {displaystyle X} , то пересечение всех его элементов пусто.
• Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
  • Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
  • Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
  • Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
• Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства X {displaystyle X} — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств X {displaystyle X} наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров G {displaystyle G} можно взять множества D a = { U ∈ G | a ∈ U } {displaystyle D_{a}={Uin G|ain U}} для всевозможных a ∈ P ( X ) . {displaystyle ain P(X).}

Приложения

• Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
• Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
• Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу