Ультраметрическое пространство

Ультраметрическое пространство — особый случай метрического пространства, в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника:

Такую метрику называют ультраметрикой. Проще говоря, в ультраметрическом пространстве нельзя получить большее расстояние, складывая меньшие, то есть не соблюдается «принцип Архимеда».

Определение

Ультраметрическое пространство — это пара ( M , d ) {displaystyle (M,d)} , где M {displaystyle M} — множество, а d : M × M → R {displaystyle dcolon M imes M o mathbb {R} } — вещественнозначная функция на нём, также называемая метрикой, удовлетворяющая следующим условиям:

Ультраметрическое пространство отличается от метрического тем, что неравенство треугольника заменено на усиленное неравенство треугольника.

Свойства

• Всякий треугольник является равнобедренным, причём если не все его стороны равны, то одна — короче, чем две других.
• Всякая точка шара является его центром.
• Если два шара имеют общую точку, то либо они совпадают, либо один целиком содержит другой.
• Топология ультраметрического пространства является вполне разрывной.

Примеры

• Дискретная метрика (то есть расстояние между двумя точками равно 0, если они совпадают, и 1 если не совпадают) является ультраметрикой.
• Метрика на 1 , 2 , … , n , … {displaystyle 1,2,dots ,n,dots } такая, что d ( n , m ) = d n {displaystyle d(n,m)=d_{n}} при n < m {displaystyle n<m} , и d 1 ⩾ d 2 ⩾ . . . d n ⩾ . . . ⩾ 0 {displaystyle d_{1}geqslant d_{2}geqslant ...d_{n}geqslant ...geqslant 0} .
• Множество слов произвольной длины некоторого алфавита Σ {displaystyle Sigma } с ультраметрикой, заданной как d ( a , b ) = 2 − n {displaystyle d(a,b)=2^{-n}} , где n {displaystyle n} — номер первого символа, различного в словах a {displaystyle a} и b {displaystyle b} .
• p-адические числа образуют ультраметрическое пространство с естественной ультраметрикой.
• Модели, наделённые естественной ультраметрикой, возникают в теории информации при исследовании последовательностей символов и в физике твёрдого тела при изучении спиновых стёкол.