Центральный биномиальный коэффициент

В математике n-й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентов

( 2 n n ) = ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 {displaystyle {2n choose n}={frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}} для всех n ≥ 0 {displaystyle ngeq 0} .

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS

Свойства

Производящая функция:

1 1 − 4 x = 1 + 2 x + 6 x 2 + 20 x 3 + 70 x 4 + 252 x 5 + ⋯ . {displaystyle {frac {1}{sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+cdots .}

По формуле Стирлинга получаем:

( 2 n n ) ∼ 4 n π n {displaystyle {2n choose n}sim {frac {4^{n}}{sqrt {pi n}}}} при n → ∞ {displaystyle n ightarrow infty } .

Полезные ограничения:

4 n 4 n ≤ ( 2 n n ) ≤ 4 n 3 n + 1 {displaystyle {frac {4^{n}}{sqrt {4n}}}leq {2n choose n}leq {frac {4^{n}}{sqrt {3n+1}}}} для каждого n ≥ 1 {displaystyle ngeq 1}

Если нужна большая точность:

( 2 n n ) = 4 n π n ( 1 − c n n ) {displaystyle {2n choose n}={frac {4^{n}}{sqrt {pi n}}}left(1-{frac {c_{n}}{n}} ight)} где 1 9 < c n < 1 8 {displaystyle {frac {1}{9}}<c_{n}<{frac {1}{8}}} для всех n ≥ 1 {displaystyle ngeq 1} .

С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, Cn. Их формула:

C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) = ( 2 n n ) − ( 2 n n + 1 ) {displaystyle C_{n}={frac {1}{n+1}}{2n choose n}={2n choose n}-{2n choose n+1}} для каждого n ≥ 0 {displaystyle ngeq 0} .

Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа Γ ( 2 n + 1 ) Γ ( n + 1 ) 2 = 1 n B ( n + 1 , n ) {displaystyle {frac {Gamma (2n+1)}{Gamma (n+1)^{2}}}={frac {1}{nmathrm {B} (n+1,n)}}} , для всех действительных n, при которых выражение определено, где Γ ( x ) {displaystyle Gamma (x)} — это Гамма-функция, а B ( x , y ) {displaystyle mathrm {B} (x,y)} это Бета-функция.