Бета-распределение

Бета-распределение в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом.

Определение

Пусть распределение случайной величины X {displaystyle X} задаётся плотностью вероятности f X {displaystyle f_{X}} , имеющей вид:

где

• α , β > 0 {displaystyle alpha ,eta >0} произвольные фиксированные параметры, и
• B ( α , β ) = ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x {displaystyle mathrm {B} (alpha ,eta )=int limits _{0}^{1}x^{alpha -1}(1-x)^{eta -1},dx} — бета-функция.

Тогда случайная величина X {displaystyle X} имеет бета-распределение. Пишут: X ∼ B ( α , β ) {displaystyle X!sim mathrm {B} (alpha ,eta )} .

Форма графика

Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } .

• α < 1 ,   β < 1 {displaystyle alpha <1, eta <1} — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая);
• α < 1 ,   β ≥ 1 {displaystyle alpha <1, eta geq 1} или α = 1 ,   β > 1 {displaystyle alpha =1, eta >1} — график строго убывающий (синяя кривая)
  • α = 1 ,   β > 2 {displaystyle alpha =1, eta >2} — график строго выпуклый;
  • α = 1 ,   β = 2 {displaystyle alpha =1, eta =2} — график является прямой линией;
  • α = 1 ,   1 < β < 2 {displaystyle alpha =1, 1<eta <2} — график строго вогнутый;
• α = 1 ,   β = 1 {displaystyle alpha =1, eta =1} график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
• α = 1 ,   β < 1 {displaystyle alpha =1, eta <1} или α > 1 ,   β ≤ 1 {displaystyle alpha >1, eta leq 1} — график строго возрастающий (зелёная кривая);
  • α > 2 ,   β = 1 {displaystyle alpha >2, eta =1} — график строго выпуклый;
  • α = 2 ,   β = 1 {displaystyle alpha =2, eta =1} — график является прямой линией;
  • 1 < α < 2 ,   β = 1 {displaystyle 1<alpha <2, eta =1} — график строго вогнутый;
• α > 1 ,   β > 1 {displaystyle alpha >1, eta >1} — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)

В случае, когда α = β {displaystyle alpha =eta } , плотность вероятности симметрична относительно 1 / 2 {displaystyle 1/2} (красная и пурпурная кривые), то есть

Моменты

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X {displaystyle X} , имеющей бета-распределение, имеют вид:

Связь с другими распределениями

• Бета-распределение является распределением Пирсона типа I.
• Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения: U [ 0 , 1 ] ≡ B ( 1 , 1 ) {displaystyle mathrm {U} [0,1]equiv mathrm {B} (1,1)} .
• Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений.
• Если X , Y {displaystyle X,Y} — независимые гамма-распределённые случайные величины, причём X ∼ Γ ( α , 1 ) {displaystyle Xsim mathrm {Gamma } (alpha ,1)} , а Y ∼ Γ ( β , 1 ) {displaystyle Ysim mathrm {Gamma } (eta ,1)} , то X X + Y ∼ B ( α , β ) {displaystyle {frac {X}{X+Y}}sim mathrm {B} (alpha ,eta )} .