Задача Кобона о треугольниках

15.12.2022

Задача Кобона о треугольниках — нерешённая задача комбинаторной геометрии, сформулированная Кодзабуро Фудзмурой (яп. 藤村幸三郎 фудзимура ко:дзабуро:), известным также как Кобон. В задаче спрашивается, каково максимальное число N(k) неперекрывающихся треугольников, стороны которых принадлежат конфигурации k прямых. Вариант задачи рассматривается в проективной плоскости, а не в евклидовой плоскости, и в этом случае требуется, чтобы треугольники не пересекались другими прямыми конфигурации.

Верхние границы

Сабуро Тамура доказал, что наибольшее целое, не превосходящее k(k − 2)/3, даёт верхнюю границу максимального числа неперекрывающихся треугольников, получаемых из k прямых. В 2007 году Иоганес Бадер и Жиль Клеман (нем. Johannes Bader, фр. Gilles Clément) нашли более сильную границу, доказав, что верхняя граница Тамуры не может быть достигнута для любого k, сравнимого с 0 или 2 по модулю 6. Поэтому максимальное число треугольников на единицу меньше границы Тамура для этих случаев. Совершенные решения (решение задачи Кобона, дающие максимальное число треугольников) известны для k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 и 17. Для k = 10, 11 и 12 наилучшие известные решения на единицу меньше верхней границы.

Если дано совершенное решение с k0 прямыми, другие решения задачи Кобона о треугольниках могут быть найдены для всех значений ki, где

k n + 1 = 2 k n − 1 , {displaystyle k_{n+1}=2k_{n}-1,}

при помощи процедуры Д. Форжа и Дж. Л. Рамиреза Альфонсина. Например, решение для k0 = 3 приводит к максимальному числу неперекрывающихся треугольников для k = 3, 5, 9, 17, 33, 65, …

Примеры

  • 3 прямых образуют треугольник

  • 4 прямых

  • 5 прямых

  • 6 прямых

  • 7 прямых



Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2022
При цитировании информации ссылка на сайт обязательна.
Копирование материалов сайта ЗАПРЕЩЕНО!