Теорема Слешинского — Прингсхайма

Теорема Слешинского — Прингсхайма — один из признаков сходимости обобщённых цепных дробей.

История

Теорема была доказана в конце 19-го века независимо Иваном Слешинским и Альфредом Прингсхаймом.

Формулировка

Предположим, a n {displaystyle a_{n}} и b n {displaystyle b_{n}} — последовательности вещественных чисел такие, что | b n | ⩾ | a n | + 1 {displaystyle |b_{n}|geqslant |a_{n}|+1} для любого n {displaystyle n} . Тогда цепная дробь

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋱ {displaystyle {cfrac {a_{1}}{b_{1}+{cfrac {a_{2}}{b_{2}+{cfrac {a_{3}}{b_{3}+ddots }}}}}}}

сходится абсолютно к некоторому вещественному числу в интервале [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} .