Гипотеза Мертенса

15.04.2023

Гипотеза Мертенса — отвергнутая математическая гипотеза, согласно которой функция Мертенса M ( n ) {displaystyle M(n)} ограничена ± n {displaystyle pm {sqrt {n}}} . Выдвинута Стилтьесом в 1885 году в письме Эрмиту, независимо предложена Францем Мертенсом в 1897 году. Особый интерес к гипотезе был связан с тем, что из её выполнения следует верность гипотезы Римана.

Несмотря на большое количество интуитивных подтверждений и вычислительных предпосылок, гипотеза была опровергнута в 1985 году Анджеем Одлыжко и Германом те Риле.

История

Стилтьес утверждал в 1885 году, что доказал более слабое утверждение: m ( n ) := M ( n ) / n {displaystyle m(n):=M(n)/{sqrt {n}}} ограничена, но не опубликовал доказательство. (В терминах m ( n ) {displaystyle m(n)} предположение Мертенса означало, что − 1 < m ( n ) < 1 {displaystyle -1<m(n)<1} .)

Одлыжко и те Риле для доказательства ложности гипотезы в 1983 году использовали алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса, получив:

lim inf m ( n ) < − 1,009 {displaystyle liminf m(n)<-1{,}009} и lim sup m ( n ) > 1 , 06 {displaystyle limsup m(n)>1{,}06} .

Позже было доказано, что первый контрпример встречается до e 3 , 21 × 10 64 ≈ 10 1 , 39 × 10 64 {displaystyle e^{3{,}21 imes 10^{64}}approx 10^{1{,}39 imes 10^{64}}} , но после 1016. С тех пор верхняя граница была понижена до e 1 , 59 × 10 40 {displaystyle e^{1{,}59 imes 10^{40}}} или приблизительно 10 6 , 91 × 10 39 {displaystyle 10^{6{,}91 imes 10^{39}}} , при этом точный контрпример по состоянию на 2023 год неизвестен.

Закон повторного логарифма утверждает, что если функцию Мёбиуса μ {displaystyle mu } в определении функции Мертенса заменить случайной последовательностью из +1 и −1, тогда порядок роста частичных сумм первых μ {displaystyle mu } чисел (с вероятностью 1) составляет около n log ⁡ log ⁡ n {displaystyle {sqrt {nlog log n}}} , из чего можно полагать порядок роста m ( n ) {displaystyle m(n)} приблизительно равным n log ⁡ log ⁡ n {displaystyle {sqrt {nlog log n}}} . Истинный порядок роста может быть несколько меньше; в начале 1990-х годов предположено, что порядок роста m ( n ) {displaystyle m(n)} равен ( log ⁡ log ⁡ log ⁡ n ) 5 / 4 {displaystyle (log log log n)^{5/4}} ( log ⁡ log ⁡ n ) 5 / 4 {displaystyle (log log n)^{5/4}} , что нашло в 2004 году также эвристические подтверждения (основанные на выполнении гипотезы Римана и некоторых предположениях об усреднённом поведении нулей ζ {displaystyle zeta } -функции Римана).

В 1979 году найдено наибольшее известное значение m ( n ) ≈ 0,570 591 {displaystyle m(n)approx 0{,}570591} для M ( 7766842813 ) = 50286 {displaystyle M(7766842813)=50286} , а в 2011 году вычислено наибольшее известное отрицательное значение m ( n ) ≈ − 0,585 768 {displaystyle m(n)approx -0{,}585768} для M ( 11609864264058592345 ) = − 1995900927 {displaystyle M(11609864264058592345)=-1995900927} . В 2016 году вычислены M ( n ) {displaystyle M(n)} для каждого n ⩽ 10 16 {displaystyle nleqslant 10^{16}} , но большие значения m ( n ) {displaystyle m(n)} не найдены.

В 2006 году улучшена верхняя граница и показано, что существует бесконечно много значений n {displaystyle n} , для которых m ( n ) > 1,218 4 {displaystyle m(n)>1{,}2184} , но без нахождения особых значений для таких n {displaystyle n} . В 2016 году установлено, что:

lim inf m ( n ) < − 1,837 625 {displaystyle liminf m(n)<-1{,}837625} и lim sup m ( n ) > 1,826 054 {displaystyle limsup m(n)>1{,}826054} .

Связь с гипотезой Римана

Связь с гипотезой Римана основана на рядах Дирихле для функции, обратной римановой дзета-функции:

1 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {displaystyle {frac {1}{zeta (s)}}=sum _{n=1}^{infty }{frac {mu (n)}{n^{s}}}}

в области R e ( s ) > 1 {displaystyle {mathcal {Re}}(s)>1} . Ряд может быть переписан как интеграл Стилтьеса:

1 ζ ( s ) = ∫ 0 ∞ x − s d M ( x ) {displaystyle {frac {1}{zeta (s)}}=int _{0}^{infty }x^{-s}dM(x)} ,

что после интегрирования по частям даёт функцию, обратную дзета-функции — преобразование Меллина:

1 s ζ ( s ) = { M M } ( − s ) = ∫ 0 ∞ x − s M ( x ) d x x {displaystyle {frac {1}{szeta (s)}}=left{{mathcal {M}}M ight}(-s)=int _{0}^{infty }x^{-s}M(x),{frac {dx}{x}}} .

Используя теорему обратного преобразования Меллина, M {displaystyle M} выражается через 1 ζ {displaystyle { frac {1}{zeta }}} как:

M ( x ) = 1 2 π i ∫ σ − i ∞ σ + i ∞ x s s ζ ( s ) d s {displaystyle M(x)={frac {1}{2pi i}}int _{sigma -iinfty }^{sigma +iinfty }{frac {x^{s}}{szeta (s)}},ds} ,

что верно для 1 < σ < 2 {displaystyle 1<sigma <2} , и верно для 1 2 < σ < 2 {displaystyle { frac {1}{2}}<sigma <2} согласно гипотезе Римана. Из этого следует, что интеграл в преобразовании Меллина должен быть сходящимся, и потому функция M ( x ) {displaystyle M(x)} должна иметь порядок роста O ( x e ) {displaystyle O(x^{e})} для каждой степени экспоненты e {displaystyle e} , большей, чем 1 2 {displaystyle { frac {1}{2}}} . Таким образом:

M ( x ) = O ( x 1 2 + ϵ ) {displaystyle M(x)=O{Big (}x^{{ frac {1}{2}}+epsilon }{Big )}}

для всех положительных ϵ {displaystyle epsilon } эквивалентно гипотезе Римана, что следовало бы из более сильной гипотезы Мертенса, а из гипотезы Стилтьеса следует, что:

M ( x ) = O ( x 1 2 ) {displaystyle M(x)=O{Big (}x^{ frac {1}{2}}{Big )}} .

Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Информационный некоммерческий ресурс fccland.ru © 2022
При цитировании информации ссылка на сайт обязательна.
Копирование материалов сайта ЗАПРЕЩЕНО!