Серединный перпендикуляр

Серединный перпендикуляр (также срединный перпендикуляр и устаревший термин медиатриса) — прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

Свойства

• Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого многоугольника, для которого существует описанная окружность) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остроугольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
• Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
  • Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
• В равнобедренном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины угла с равными сторонами, совпадают и являются серединным перпендикуляром, проведённым к основанию треугольника, а два других серединных перпендикуляра равны между собой.
• Отрезки серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, заключённые внутри него, можно найти по следующим формулам:

p a = 2 a S a 2 + b 2 − c 2 , p b = 2 b S a 2 + b 2 − c 2 , p c = 2 c S a 2 − b 2 + c 2 , {displaystyle p_{a}={frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},;;p_{b}={frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},;;p_{c}={frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},} где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр, S {displaystyle S} — площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами a ⩾ b ⩾ c . {displaystyle ageqslant bgeqslant c.}

• Если стороны треугольника удовлетворяют неравенствам a ≥ b ≥ c {displaystyle ageq bgeq c} , тогда справедливы неравенства:

p a ≥ p b {displaystyle p_{a}geq p_{b}} и p c ≥ p b . {displaystyle p_{c}geq p_{b}.} Иными словами, наименьшим является серединный перпендикуляр, проведенный к стороне с промежуточной длиной.

Вариации и обобщения

• Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная.